Question

设函数（），其中．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的极大值和极小值；

（Ⅲ）当时，证明存在，使得不等式对任意的恒成立．

Answer 1

本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．

（Ⅰ）解：当时，，得，且

，．

所以，曲线在点处的切线方程是，整理得

．

（Ⅱ）解：

．

令，解得或．

由于，以下分两种情况讨论．

（1）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

．

（2）若，当变化时，的正负如下表：

因此，函数在处取得极小值，且

；

函数在处取得极大值，且

．

（Ⅲ）证明：由，得，当时，

，．

由（Ⅱ）知，在上是减函数，要使，

只要

即

　　　　　　　　①

设，则函数在上的最大值为．

要使①式恒成立，必须，即或．

所以，在区间上存在，使得对任意的恒成立．