Question

（2009•奉贤区二模）已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
（I）求f（x）的周期和单调递增区间
（II）若关于x的方程f（x）-m=2在x∈[

π

4

，

π

2

]上有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；
（II）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
=1-cos（

π

2

+2x）-

3

cos2x
=1+sin2x-

3

cos2x
=2sin（2x-

π

3

）+1．（1分）
∴周期T=π；（1分）
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，解得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，
∴单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，（k∈Z）．（2分）
（II）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，所以2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴sin（2x-

π

3

）∈[

1

2

，1]，
所以f（x）的值域为[2，3]，（4分）
而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]（4分）

点评：本题主要考查三角函数中恒等变换应用以及整体代入思想的应用．在求三角函数的单调性时，一般都用整体代入思想，比如本题中令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

．