Question

【题目】已知抛物线（）的焦点F，E上一点到焦点的距离为4.

（1）求抛物线E的方程；

（2）过F作直线l交抛物线E于A，B两点，若直线AB中点的纵坐标为，求直线l的方程及弦的长.

Answer 1

【答案】（1）（2）；

【解析】

（1）利用抛物线E：y2＝2px（p＞0）的准线方程，由抛物线的定义列出方程，求解即可．

（2）由（1）得抛物线E的焦点F（1，0）设A，B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法，求出线段AB中点的纵坐标为﹣1，得到直线的斜率，求出直线方程．再联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求解即可．

（1）抛物线（）的准线方程为，

由抛物线的定义可知解得，∴E的方程为；

（2）由（1）得抛物线E的方程为，焦点

设A，B两点的坐标分别为，，

则，

两式相减.整理得（）

∵线段AB中点的纵坐标为，

∴直线l的斜率，

直线l的方程为即，

由得，

∵，，

.