Question

【题目】四棱锥中，底面是中心为的菱形，，．

（1）求证：平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）由题意，，又，则平面，则，又，则平面；

（2）由题意，直线与平面所成的角即为，设菱形的边长为2，取的中点，连接，则平面，以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量求解二面角．

（1）证明：因为底面是菱形，

故，又，且平面，，

∴平面，∵平面，∴

又∵，，平面，

∴平面；

（2）解：由（1）知，平面，

故直线与平面所成的角即为，

设菱形的边长为2，由平面几何知识，

，

取的中点，连接，则平面，

以为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则

，，，，

平面的一个法向量为，

平面的一个法向量为，

，，

故所求二面角的正弦值为．