【题目】已知函数的图象与x轴交点为
,与此交点距离最小的最高点坐标为
.
(Ⅰ)求函数的表达式;
(Ⅱ)若函数满足方程
,求方程在
内的所有实数根之和;
(Ⅲ)把函数的图像的周期扩大为原来的两倍,然后向右平移
个单位,再把纵坐标伸长为原来的两倍,最后向上平移一个单位得到函数
的图像.若对任意的
,方程
在区间
上至多有一个解,求正数k的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)依题意作出部分函数图像,由最大值确定A,周期确定,特殊点
确定
即可求出解析式;(Ⅱ)由周期知
在
内恰有2个周期,则方程有四个根,结合图像利用对称轴即可求出所有根的和;(Ⅲ)根据三角函数的图像变化,数形结合即可得到结论.
(Ⅰ)从图知,函数的最大值为1,则,
函数的周期为
,而
,则
又时,
,
,
,
解得,而
,则
,
∴函数的表达式为
.
(Ⅱ)的周期为
,
在
内恰有2个周期,
并且方程在
内有4个实根设为
,
结合图像知.
故所有实数之和为.
(Ⅲ)先把的图像的周期扩大为原来的两倍,得到
,然后向右平移
个单位得到
,纵坐标伸长为原来的2倍再向上平移1个单位得到
,
函数的图象如图所示,
则当图象伸长为原来的5倍以上时符合题意,所以
.
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【题目】如图,在四棱锥中,四边形
是边长为2的正方形,
,
为
的中点,点
在
上,
平面
,
在
的延长线上,且
.
(1)证明:平面
.
(2)过点作
的平行线,与直线
相交于点
,点
为
的中点,求
到平面
的距离.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
,其中
为参数,在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点
的极坐标为
, 直线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线
的普通方程;
(2)若是曲线
上的动点,
为线段
的中点.求点
到直线
的距离的最大值.
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【题目】幻彩摩天轮位于中山市西区兴中广场C段4层高的建筑之上,与中山市第一家四星级酒店——富华酒店隔河相望,其外观是参考世界最高的摩天轮新加坡“飞行者”的设计,轮体上有36个吊舱,共可同时承载288人从高空俯瞰岐江一河两岸的美景.幻彩摩天轮直径为83m,每20min转一圈,最高点离地108m,摩天轮上的点P的起始位置在最低点处.已知在时刻t(min)时P距离地面的高度,(其中
),
(1)求的函数解析式.
(2)当离地面m以上时,可以俯瞰富华酒店顶楼,求转一圈中有多少时间可以俯瞰富华酒店顶楼?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设函数(
,
,
,
)的部分图象如图所示.
(1)求函数的解析式;
(2)求函数的最小值及
取到最小值时自变量x的集合;
(3)将函数图像上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的(
)倍,得到函数
的图象.若函数
在区间
上恰有5个零点,求t的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知△中,∠
=90°,
,且
=1,
=2,△
绕
旋转至
,使点
与点
之间的距离
=
.
(1)求证:⊥平面
;
(2)求二面角的大小;
(3)求异面直线与
所成的角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知不交于同一点的三条直线:4x+y-4=0,
:mx+y=0,
:x-my-4=0.
(1)当这三条直线不能围成三角形时,求实数m的值;
(2)当与
,
都垂直时,求两垂足间的距离.
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