Question

【题目】已知.

（Ⅰ）若曲线与轴有唯一公共点，求的取值范围；

（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【解析】

试题（Ⅰ）由题意，函数有唯一零点，求导，分类讨论得到函数的单调性，利用零点的存在定理，即可求得实数的取值范围；

（Ⅱ）由题意，可得，构造新函数，则对任意的恒成立，分类讨论，得到函数的单调性，转化为利用函数的，即可求解实数的取值范围.

试题解析：

（Ⅰ）解：函数的定义域为..

由题意，函数有唯一零点..

（1）若，则.

显然恒成立，所以在上是增函数.

又，所以符合题意.

（2）若，.

；.

所以在上是减函数，在上是增函数.

所以 .

由题意，必有（若，则恒成立，无零点，不符合题意）.

①若，则.

令，则 .

；.

所以函数在上是增函数，在上是减函数.

所以.所以，当且仅当时取等号.

所以，，且.

取正数，则 ；

取正数，显然.而，

令，则.当时，显然.

所以在上是减函数.

所以，当时，，所以.

因为，所以 .

又在上是减函数，在上是增函数.

则由零点存在性定理，在、上各有一个零点.

可见，，或不符合题意.

注：时，若利用，，，说明在、上各有一个零点.

②若，显然，即.符合题意.

综上，实数的取值范围为.

（Ⅱ） .

令，则对任意的恒成立.

（1）当时，.

当时，，所以在上是减函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

（2）若，显然在上是减函数.

取实数，显然.

则 （利用）

.

又，在上是减函数，

由零点存在定点，存在唯一的使得.

于是，当时，，函数在上是增函数.

所以，当时，.可见，不符合题意.

当时，分如下三种解法：

解法一：（3）若，，.

令，显然在上是减函数，

所以，当时，，当且仅当时取等号.

所以，当时，，在上是减函数.

所以，当时，.

所以，在上是减函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

（4）若，，.

令，显然在上是减函数，且，

，

所以，存在唯一的，使得，即.

于是，当时，；当时，.

所以，当时，；当时，.

所以，在上是增函数，在上是减函数.

所以，在上的最大值 .

将式代入上式，得 .

所以，当时，，所以在上是减函数.

所以，当时，.可见，符合题意.

综上，所求的取值范围是.

解法二：（3）若，对任意的恒成立对任意的恒成立.

令，.

，当时， ，

所以在上是增函数.所以.

显然在上是减函数，.

所以，当时，