【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知圆
及点
,
.
(1)若直线平行于
,与圆
相交于
,
两点,
,求直线
的方程;
(2)在圆上是否存在点
,使得
?若存在,求点
的个数;若不存在,说明理由.
【答案】(1)或
.(2)
.
【解析】
试题分析:(1)本题实质为直线被圆截得弦长问题,一般方法为利用垂径定理进行转化解决:先根据AB斜率得直线斜率,设直线方程
,再根据AB长得弦长
,最后根据垂径定理得
,根据圆心
到直线
的距离公式得
代入得
,解得
或
,(2)
点既在圆
上,又满足
,因此研究点
的个数,实质研究两曲线位置关系,先确定满足
的轨迹方程 ,利用直接法得
,也为圆,所以根据两圆位置关系可得点
的个数
试题解析:(1)圆的标准方程为
,所以圆心
,半径为
.
因为,
,
,所以直线
的斜率为
,
设直线的方程为
, ……………………………………………2分
则圆心到直线
的距离为
.…………………………4分
因为,
而,所以
, ……………………………6分
解得或
,
故直线的方程为
或
.…………………………………8分
(2)假设圆上存在点
,设
,则
,
,
即,即
, ………………………………10分
因为,……………………………………12分
所以圆与圆
相交,
所以点的个数为
.…………………………………………………………14分
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【题目】如图,已知抛物线:
,过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点,且与其准线交于点
.
(1)若线段的长为
,求直线
的方程;
(2)在上是否存在点
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列,若存在求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数(其中
)
(Ⅰ) 若在其定义域内为单调递减函数,求
的取值范围;
(Ⅱ) 是否存在实数,使得当
时,不等式
恒成立,如果存在,求
的取值范围,如果不存在,说明理由(其中
是自然对数的底数,
=2.71828…).
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【题目】已知函数(
为实数).
(1)当时,求函数
的图象在点
处的切线方程;
(2)设函数(其中
为常数),若函数
在区间
上不存在极值,且存在
满足
,求
的取值范围;
(3)已知,求证:
.
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【题目】下列结论正确的是
①在某项测量中,测量结果服从正态分布
.若
在
内取值的概率为0.35,则
在
内取值的概率为0.7;
②以模型去拟合一组数据时,为了求出回归方程,设
,其变换后得到线性回归方程
,则
;
③已知命题“若函数在
上是增函数,则
”的逆否命题是“若
,则函数
在
上是减函数”是真命题;
④设常数,则不等式
对
恒成立的充要条件是
.
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【题目】在平面直角坐标系中,两点的坐标分别为
,动点
满足:直线
与直线
的斜率之积为
.
(1)求动点的轨迹方程;
(2)过点作两条互相垂直的射线,与(1)的轨迹分别交于
两点,求
面积的最小值.
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