Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-3），离心率为

2

2

．
（1）求椭圆方程；
（2）过点A（0，1）且斜率为k的直线l交椭圆于M、N两点，求证：BM⊥BN．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-3），离心率为

2

2

，可得b=3，

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²．解出即可．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．直线l的方程为y=kx+1．与椭圆的方程联立，利用数量积运算、根与系数的关系即可得出．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个顶点为B（0，-3），离心率为

2

2

，
∴b=3，

c

a

=

2

2

，又a²=b²+c²．
解得c=3，a²=18．
∴椭圆的方程为

x2

18

+

y2

9

=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
直线l的方程为y=kx+1．
联立

y=kx+1 x2+2y2=18

，化为（1+2k²）x²+4kx-16=0，
∴x₁+x₂=-

4k

1+2k2

，x₁x₂=

-16

1+2k2

．
∴

BM

•

BN

=（x₁，y₁+3）•（x₂，y₂+3）
=x₁x₂+（kx₁+4）（kx₂+4）
=（1+k²）x₁x₂+4k（x₁+x₂）+16
=

-16(1+k2)

1+2k2

+

-16k2

1+2k2

+16
=0．
∴

BM

⊥

BN

．
∴BM⊥BN．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算，考查了推理能力与计算能力，属于难题．