Question

【题目】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1,y=f(x)在x=-2处有极值．

(1)求f(x)的解析式．

(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值．

Answer 1

【答案】（1）f(x)=x3+2x2-4x+5.（2）最大值为13.

【解析】

（1）求出导函数，令导函数在0处的值为3，在-2处的值为0，函数在0处的值为1，列出方程组求出a，b，c的值．
（2）令导函数大于等于0在[-2，1]上恒成立，通过对对称轴与区间关系的讨论求出导函数在区间的最小值，令最小值大于等于0，求出a的范围

解：(1)f′(x)=3x2+2ax+b,f′(1)=3+2a+b.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y-f(1)=(3+2a+b)·(x-1), 即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1).

又已知该切线方程为y=3x+1,

所以即

因为y=f(x)在x=-2处有极值,所以f′(-2)=0, 所以-4a+b=-12.

解方程组得

所以f(x)=x3+2x2-4x+5.

(2)由(1)知f′(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2).

令f′(x)=0,得x1=-2,x2=. 当x∈[-3,-2)时,f′(x)>0;

当x∈时,f′(x)<0; 当x∈时,f′(x)>0,

所以f(x)的单调增区间是[-3,-2)和,单调减区间是.

因为f(1)=4,f(x)极大值=f(-2)=13,所以f(x)在区间[-3,1]上的最大值为13.