Question

下列有关函数f（x）=x+

4

x

的结论：
（1）f（x）的图象关于原点对称；
（2）f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；
（3）f（x）在区间[1，+∞）的最小值为5；
（4）f（x）的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）
其中正确的有

 

 （填入所有正确结论的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：对于（1）要证f（x）的图象关于原点对称，只要证明f（x）是奇函数即可．
对于（2）根据单调函数的定义在[2，+∞）任取两点x₁，x₂，作差比较函数值的大小即可．也可以利用导数证明导数恒大于0即可．
对于（3），由于满足基本不等式的条件，利用基本不等式请求最小值即可．
对于（4），函数定义域是x≠0，在x＜0和x＞0两种情形分别求最大值和最小值即可．

解答： 解：对于（1）结论是正确的．∵f（x）=x+

4

x

，∴f（-x）=-（x+

4

x

）=-f（x），∴f（x）是奇函数，故关于原点对称．
对于（2）结论是正确的．∵f′（x）=1-

4

x2

，令f′（x）≥0，得x≤-2，或x≥2，∴f（x）在[2，+∞）是递增函数．
对于（3）结论是不正确的．，当x∈[1，+∞）时，f（x）=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4，∴f（x）的最小值是4．
对于（4）结论是正确的．当x∈（0，+∞）时，f（x）的值域是[4，+∞），x∈（-∞，0）时，∵（x）是奇函数，
∴f（x）的值域是（-∞，-4]，故f（x）的值域为（-∞，-4]∪[4，+∞）
故答案为：（1）（2）（4）

点评：本题考查了函数的奇偶性以及单调区间，值域，属于基础题．