精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)= f1(x)+ f2(x).

(Ⅰ) 求函数f(x)的表达式;

(Ⅱ) 证明:当a>3时,关于x的方程f(x)= f(a)有三个实数解.

 

【答案】

(Ⅰ) f(x)=x2+.(Ⅱ) f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=-x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=和f3(x)= -x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐

标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)="4," f3(2)= -4+a2+,当a>3时,. f3(2)-f2(2)= a2+-8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.

【解析】

试题分析:(Ⅰ)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a="1," ∴f1(x)= x2.设f2(x)=(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为A(,),B(-,-)

=8,得k="8,." ∴f2(x)=.故f(x)=x2+.

(Ⅱ) (证法一)f(x)=f(a),得x2+=a2+,

=-x2+a2+.在同一坐标系内作出f2(x)=

f3(x)= -x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐

标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲线, f3(x)与的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线.因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2(2)="4," f3(2)= -4+a2+,当a>3时,. f3(2)-f2(2)= a2+-8>0,当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f(2))在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.

(证法二)由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(x-a)(x+a-)=0,得方程的一个解x1=a.方程x+a-=0化为ax2+a2x-8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得x2=, x3=,x2<0, x3>0, ∵x1≠ x2,且x2≠ x3.若x1= x3,即a=,则3a2=, a4=4a,得a=0或a=,这与a>3矛盾,∴x1≠ x3.故原方程f(x)=f(a)有三个实数解.

考点:本题考查了函数与方程的运用

点评:函数与方程是高中数学重要的数学思想, 将函数问题转化为方程问题求解,可以使函数中好多问题变得比较好解决

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象过点(1,8),f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:当a>3时,函数g(x)=f(x)-f(a)有三个零点.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2012-2013学年吉林省吉林一中高一(上)11月月考数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:2011-2012学年湖南省长沙市田家炳实验中学高二(下)期末数学试卷(文科)(解析版) 题型:解答题

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:江苏省泰州市中学高三数学一轮复习过关测试卷:函数(1)(解析版) 题型:解答题

已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.

查看答案和解析>>

同步练习册答案