Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，E，F分别为BB₁，AC的中点．
（Ⅰ）求证：BF∥平面A₁EC；
（Ⅱ）若AB=AA₁，求二面角C-A₁E-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，由已知得四边形BEOF是平行四边形，由此能证明BF∥平面A₁EC．
（Ⅱ）以A为原点，AB为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角C-A₁E-A的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：连接A₁C与AC₁交于点O，连接OF，
∵F为AC的中点，
∴OF∥C₁C且OF=

1

2

C₁C，
∵E为BB₁的中点，
∴BE∥C₁C且BE=

1

2

C₁C，
∴BE∥OF且BE=OF，
∴四边形BEOF是平行四边形，
∴BF∥OE，
∵BF?平面A₁EC，OE?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
（Ⅱ）解：以A为原点，AB为y轴，AA₁为z轴，
建立空间直角坐标系A-xyz，
设AB=AA₁=2，A（0，0，0），C（

3

，1，0），
A 1 （0，0，2），E（0，2，1），

A1C

=（

3

，1，-2），

A1E

=（0，2，-1），

A1A

=（0，0，-2），
设平面CA₁E的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • A1C = 3 x+y-2z=0 n • A1E =2y-z=0

，取y=1，得

n

=（

3

，1，2），
设平面A₁EA的法向量

m

=（a，b，c），
则

m • A1E =2b-c=0 m • A1A =-2c=0

，∴平面A₁EA的法向量

m

=（1，0，0），
设二面角C-A₁E-A的平面角为θ，cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3

8

|=

6

4

．
∴二面角C-A₁E-A的余弦值为

6

4

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．