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某人在山顶观察地面上相距2 500 m的A、B两个目标,测得目标A在南偏西57°,俯角为30°,同时测得B在南偏东78°,俯角是45°,求山高(设A、B与山底在同一平面上,计算结果精确到0.1 m).
分析:设山高PQ,则,∠PAQ和∠PBQ可知,然后在△APQ、△BPQ中表示出AQ,BQ,求∠AQB和AB,最后利用余弦定理求得关于h的一元二次方程求得h.
解答:解:画出示意图(如图所示)
设山高PQ=h,则△APQ、△BPQ均为直角三角形,
在图(1)中,∠PAQ=30°,∠PBQ=45°.
∴AQ=
PQ
tan30°
=
3
h
,BQ=
PQ
tan45°
=h.
在图(2)中,
∠AQB=57°+78°=135°,AB=2500,
所以由余弦定理得:
AB2=AQ2+BQ2-2AQ•BQcos∠AQB,
即25002=(
3
h)2+h2-2
3
h•h•cos135°=(4+
6
)h2
∴h=
2500
4+
6
≈984.4(m).
答:山高约984.4m.
点评:本题主要考查了解三角形的实际应用,正弦定理和余弦定理的应用.作为解决实际问题而言,建立适当的数学模型是正确解题的重要前提.
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