Question

如图已知四面体P-ABC中，AB=BC=1，AC=

2

，PA=PC=

3

，PB=2，且PB与平面ABC所成角是

π

4

，E是AB的中点．
（1）求点P在平面ABC内的射影到直线AB、AC的距离；
（2）求二面角P-EC-B的大小；
（3）求点B到平面PEC的距离．

Answer 1

分析：（1）首先可计算证得∠PAB=∠PCB=∠ABC=90°，设点P在平面ABC内的射影是点O，则OP=BP•sin

π

4

=

2

，根据PA⊥AB，PC⊥BC，可知OA⊥AB，OC⊥BC，从而OA、OC表示点O到直线AB、AC的距离，故可解；
（2）取BC的中点F，连接OF交CE于点G，正方形ABCO中，可知∠PGF为所求二面角的平面角，故可求二面角的大小；
（3）设OB交CE于点R，则OR=2BR，所以点O到平面PCE的距离等于点B到平面PCE的距离的2倍，过点O作直线OH垂直PG且相交于点H，则OH⊥平面PCE，从而可求点B到平面PEC的距离．

解答：解：（1）由AB=BC=1，AC=

2

，PA=PC=

3

，PB=2
得到：∠PAB=∠PCB=∠ABC=90°
设点P在平面ABC内的射影是点O，
则OP=BP•sin

π

4

=

2

，…（2分）
由PA⊥AB，PC⊥BC得到，OA⊥AB，OC⊥BC，
且OA=OC=1，
所以点O到直线AB、AC的距离都是等于1；
（2）取BC的中点F，连接OF交CE于点G，正方形ABCO中，可以证明到OF⊥CE，所以∠PGF为所求二面角的平面角．  …（6分）
∵CG=

OC•CF

OF

=

5

5

⇒OG=

2 5

5

，∴tan∠PGO=

OP

OG

=

2

2 5 5

=

10

2

，
所以所求二面角的大小是π-arctan

10

2

…（8分）
（3）设OB交CE于点R，则OR=2BR，所以点O到平面PCE的距离等于点B到平面PCE的距离的2倍，
过点O作直线OH垂直PG且相交于点H，则OH⊥平面PCE，OH=

OP•OG

PG

=

2 •2 2 5 5

2+ 4 5

=

2 7

7

，
所以点B到平面PEC的距离是

7

7

．…（12分）

点评：本题以四面体为载体，考查点线距离，考查面面角，点面距离，考查学生分析转化问题的能力．