Question

设a≥0，函数f(x)=a

1-x2

+

1+x

-

1-x

的最大值为g（a）．
（1）设t=

1+x

-

1-x

，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（3）试求满足g(a)=g(

1

a

)的所有实数a．

Answer 1

分析：（1）由已知，t2=2-2

1-x2

∈[0，2]且定义域-1≤x≤1，易求得t的取值范围，且m(t)=a(1-

1

2

t2)+t=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]
（2）g（a）即为函数m(t)=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．结合二次函数图象与性质，分类讨论的方法求解．
（3）将g(a)=g(

1

a

)化为具体方程，须利用分段函数的知识，分a，

1

a

的范围进行分类讨论．

解答：解：（1）t=

1+x

-

1-x

，
要使有t意义，必须1+x≥0，且1-x≥0，即-1≤x≤1，
∴t2=2-2

1-x2

∈[0，2]①
∴t的取值范围是[-

2

，

2

]．（2分）
由①得

1-x2

=1-

1

2

t2，
∴m(t)=a(1-

1

2

t2)+t=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]．（4分）
（2）由题意知g（a）即为函数m(t)=-

1

2

at2+t+a，t∈[-

2

，

2

]的最大值．
注意到直线t=

1

a

是抛物线m(t)=-

1

2

at2+t+a的对称轴，
分以下几种情况讨论．
1°当a＞0时，
①由0＜

1

a

＜

2

，即a＞

2

2

时，g(a)=m(

1

a

)=

1

2a

+a．（5分）
②由

1

a

≥

2

，即0＜a≤

2

2

时，m(t)=-

1

2

at2+t+a
在t∈[-

2

，

2

]单调递增，g(a)=m(

2

)=

2

．（6分）
2°当a=0时，m（t）=t，t∈[-

2

，

2

]，
∴g(a)=m(

2

)=

2

．（7分）
综上有g（a）=

1 2a +a，a＞ 2 2 2 ，0≤a≤ 2 2

（8分）
（3）分以下几种情形讨论：
情形①：当a＞

2

2

，且

1

a

＞

2

2

时，即

2

2

＜a＜

2

时，由g(a)=g(

1

a

)，
得

1

2a

+a=

a

2

+

1

a

，解得a=1．（9分）
情形②：当a＞

2

2

，且0＜

1

a

≤

2

2

时，即a≥

2

时，由g(a)=g(

1

a

)，
得

1

2a

+a=

2

，解得a=

2

2

（舍） （10分）
情形③：当0≤a≤

2

2

，且0＜

1

a

≤

2

2

时，即a∈φ时，g(a)=g(

1

a

)不成立．
情形④：当0≤a≤

2

2

，且

1

a

＞

2

2

时，即0≤a≤

2

2

时，由g(a)=g(

1

a

)，
得

a

2

+

1

a

=

2

，解得a=

2

（舍）
综上有a=1，满足g(a)=g(

1

a

)．（12分）

点评：本题考查二次函数的图象、性质，考查分段函数值求解，方程求解，渗透了数形结合、分类讨论的思想．在进行分类讨论时要注意“不重复、不遗漏”，具体的说在（2）中，不要漏掉a=0情形，在（3）中要考虑a，

1

a

分别与0，

2

2

的大小关系．