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（1）设椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1（m＞0，n＞0）的右焦点与抛物线y²=8x的焦点相同，离心率为 $数学公式$ ，求椭圆的标准方程．
（2）设双曲线与椭圆 $数学公式$ + $数学公式$ =1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．

解：（1）∵抛物线y²=8x的焦点坐标为F（2，0）
∴椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（m＞0，n＞0）的右焦点为F（2，0），可得m²-n²=4…①
∵椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ …②
联解①②，得m²=16，n²=12
∴该椭圆的标准方程为 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1；
（2）∵椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1经过点A的纵坐标为4
∴设A（t，4），可得 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1，解之得t= $\text{[math]}$ ，A（ $\text{[math]}$ ，4）
∵椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1的焦点为（0，±3），双曲线与椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1有相同的焦点，
∴双曲线的焦点为（0，±3），因此设双曲线方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（0＜k＜9）
将点A（ $\text{[math]}$ ，4）代入，得 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1，解之得k=4（舍负）
∴双曲线方程为 $\text{[math]}$ =1
分析：（1）由抛物线方程得到它的焦点坐标为F（2，0）也是椭圆的右焦点，由此得到m²-n²=4．根据椭圆离心率为 $\text{[math]}$ ，得到m²-n²= $\text{[math]}$ m²，联解得到m²=16，n²=12，即得该椭圆的标准方程；
（2）根据椭圆 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1经过点A的纵坐标为4，算出A的横坐标是 $\text{[math]}$ ，得A（ $\text{[math]}$ ，4）．算出椭圆的焦点坐标为（0，±3）也是双曲线的焦点，由此可设双曲线方程为 $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ =1（0＜k＜9），代入点A坐标解出k=4，从而得到此双曲线的标准方程．
点评：本题给出两个曲线有公共的焦点，在已知它们一个交点坐标的情况下求曲线的方程，着重考查了椭圆、双曲线和抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

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（2）设点M（x₀，y₀）在直线x+y-3=0上，若存在点N∈C，使得∠OMN=60°（O为坐标原点），求x₀的取值范围．

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=1（a＞b＞0）．
（1）设椭圆的半焦距c=1，且a²，b²，c²成等差数列，求椭圆C的方程；
（2）设（1）中的椭圆C与直线y=kx+1相交于P、Q两点，求

•

的取值范围；
（3）设A为椭圆C：

=1（a＞b＞0）的长轴的一个端点，B为椭圆短轴的一个端点，F为椭圆C的一个焦点，O为坐标原点，记∠BFO=θ．当椭圆C同时满足下列两个条件：①

≤θ≤

；②O到直线AB的距离为

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（2013•肇庆二模）设F₁，F₂分别是椭圆C：

=1(a＞b＞0)的左右焦点．
（1）设椭圆C上的点(

，

)到F₁，F₂两点距离之和等于2

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（2）设过（1）中所得椭圆上的焦点F₂且斜率为1的直线与其相交于A，B，求△ABF₁的面积；
（3）设点P是椭圆C 上的任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为k_PN，k_PN试探究k_PN•k_PN的值是否与点P及直线l有关，并证明你的结论．

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已知椭圆和圆，且圆C与x轴交于A₁，A₂两点（1）设椭圆C₁的右焦点为F，点P的圆C上异于A₁，A₂的动点，过原点O作直线PF的垂线交椭圆的右准线交于点Q，试判断直线PQ与圆C的位置关系，并给出证明。（2）设点在直线上，若存在点，使得（O为坐标原点），求的取值范围。