Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，左焦点为F，左准线与x轴的交点为M，

OM

=4

OF

．
（1）求椭圆的离心率e；
（2）过左焦点F且斜率为

2

的直线与椭圆交于A、B两点，若

OA

•

OB

=-2，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出左焦点F、左准线与x轴的交点M的坐标，由

OM

=4

OF

，得出a和c的关系，从而求出离心率的值．
（2）点斜式设出直线AB的方程，由离心率的值设出椭圆的方程，将这两个方程联立方程组，应用根与系数的关系，由

OA

•

OB

=-2解出椭圆方程中的待定系数，从而求出椭圆的方程．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，F(-c，0)，M(-

a2

c

，0)．
由

OM

=4

OF

，有(-

a2

c

，0)=4(-c，0)．（3分）
则有

a2

c

=4c，即

c2

a2

=

1

4

，∴e=

c

a

=

1

2

．（6分）
（2）设直线AB的方程为y=

2

(x+c)，直线AB与椭圆的交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（I）可得a²=4c²，b²=3c²．
由

3x2+4y2=12c2 y= 2 (x+c).

 消去y，得11x²+16cx-4c²=0．（9分）
故 x1+x2=-

16c

11

，x1x2=-

4

11

c2． 
∵

AB

•

OB

=(x1，y1)•(x2，y2)=x1x2+y1y2，
且y₁•y₂=2（x₁+c）（x₂+c）=2x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²．
∴3x₁x₂+2c（x₁+x₂）+2c²=-2．（11分）
即-

12

11

c2-

32

11

c2+2c2=-2，∴c²=1．则a²=4，b²=2．
椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．（13分）

点评：本题考查直线方程、椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系，两个向量的数量积公式的应用，属于中档题．