Question

已知函数

(1)若b＝2且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)设函数f(x)的图象C₁与函数g(x)的图象C₂交于点P、Q，过线段PQ的中点R作x轴的垂线分别交C₁、C₂于点M、N，是否存在点R，使C₁在点M处的切线与C₂在点N处的切线平行？如果存在，请求出R的横坐标，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)b＝2时， 　　则 　　因为函数h(x)存在单调递减区间，所以＜0有解． 　　又因为x＞0时，则的解 　　①当a＞0时，为开口向上的抛物线，＞0总有x＞0有解； 　　②当a＜0时，为开口向下的抛物线，而＞0总有x＞0的解； 　　则△＝4＋4a＞0，且方程＝0至少有一这正根，此时，－1＜a＜0 　　综上所述，a的取值范围为(－1，0)∪(0，＋∞) 　　(2)证法一设点P、Q的坐标是 　　则点M、N的横坐标为 　　C1点在M处的切线斜率为 　　C2点N处的切线斜率为 　　假设C1点M处的切线与C2在点N处的切线平行，则k1＝k2 　　即则 　　 　　．设，则① 　　令则 　　因为t＞1时，，所以r(t)在[1，＋∞]上单调递增．故 　　则．这与①矛盾，假设不成立． 　　故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行． 　　证法二：同证法一得． 　　，所以 　　令，得② 　　令则 　　因为，所以t＞1时， 　　故在[1，＋∞]上单调递增．从而，即 　　于是r(t)在[1，＋∞]上单调递增． 　　故即这与②矛盾，假设不成立． 　　故C1在点M处的切线与C2在点N处切线不平行． 　　即不存在点R，使C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．