Question

11．已知点F₁，F₂为双曲线C：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过圆O上任意一点Q（x₀，y₀）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为N，求证|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{ON}$|．

Answer 1

分析 （1）确定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，从而可得双曲线C的方程；
（2）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|ON|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论．

解答 （1）解：设F₂，M的坐标分别为（$\sqrt{1+{b}^{2}}$，0），（$\sqrt{1+{b}^{2}}$，y₀）
因为点M在双曲线C上，所以1+b²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1，即y₀=±b²，所以|MF₂|=b²，
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²…（2分）
由双曲线的定义可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故双曲线C的方程为：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$…（4分）
（2）证明：由题意，即证：OA⊥OB．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切线l的方程为：x₀x+y₀y=2…（11分）
①当y₀≠0时，切线l的方程代入双曲线C中，化简得：（2y₀²-x₀²）x²+4x₀x-（2y₀²+4）=0
所以：x₁+x₂=-$\frac{4{x}_{0}}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2{{y}_{0}}^{2}+4}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$
又y₁y₂=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$…（13分）
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{2{{y}_{0}}^{2}+4}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=0…（15分）
②当y₀=0时，易知上述结论也成立．  
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0…（16分）
综上，OA⊥OB，所以|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{ON}$|．

点评 本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，考查学生的计算能力，属于中档题．