Question

1．如图，平面ABC⊥平面BCD，AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=$\frac{π}{3}$，E为棱AD的中点．
（1）证明：AD⊥BC；
（2）求四面体A-BED的体积．

Answer 1

分析 （1）BC的中点F，连接AF，DF，证明BC⊥平面ADF，即可证明AD⊥BC；
（2）利用两个三棱锥的体积差，即可求四面体A-BED的体积．

解答 （1）证明：取BC的中点F，连接AF，DF，则
∵AB=BC，∠ABC=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等边三角形，
∴AF⊥BC，
∵BC=BD=2，∠DBC=$\frac{π}{3}$，
∴△DBC是等边三角形，
∴DF⊥BC，
∵AF∩DF=F，
∴BC⊥平面ADF，
∵AD?平面ADF，
∴AD⊥BC；
（2）解：∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AF⊥平面BCD
∵AF=$\sqrt{3}$
∴四面体A-BED的体积=V_A-BCD-V_E-BCD=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\sqrt{3}$-$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．