Question

8．设等差数列{a_n}的公差d∈（0，1），且$\frac{{{{sin}^2}{a_8}-{{sin}^2}{a_4}}}{{sin（{a_4}+{a_8}）}}$=1，当n=8时，{a_n}的前n项和S_n取得最小值，则a₁的取值范围是[-π，-$\frac{7π}{8}$]．

Answer 1

分析 利用三角函数的降幂公式将条件$\frac{{{{sin}^2}{a_8}-{{sin}^2}{a_4}}}{{sin（{a_4}+{a_8}）}}$=1化为$\frac{\frac{1-cos{2a}_{8}}{2}-\frac{1-cos{2a}_{4}}{2}}{sin{（a}_{4}{+a}_{8}）}$=1，利用和差化积公式求得sin（a₈-a₄）=1，从而可求得等差数列{a_n}的公差d，再由数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值时$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{8}≤0}\\{{a}_{9}≥0}\end{array}\right.$，即可求得首项a₁的取值范围．

解答 解：∵{a_n}为等差数列，且$\frac{{{{sin}^2}{a_8}-{{sin}^2}{a_4}}}{{sin（{a_4}+{a_8}）}}$=1，
∴$\frac{\frac{1-cos{2a}_{8}}{2}-\frac{1-cos{2a}_{4}}{2}}{sin{（a}_{4}{+a}_{8}）}$=1，
即$\frac{co{s2a}_{4}-cos{2a}_{8}}{2}$=sin（a₄+a₈），
由和差化积公式得：$\frac{1}{2}$×（-2）sin（a₄+a₈）•sin（a₄-a₈）=sin（a₄+a₈），
∵sin（a₄+a₈）≠0，
∴sin（a₄-a₈）=-1，即sin（a₈-a₄）=1，
∴4d=2kπ+$\frac{π}{2}$∈（0，4），
取k=0，则4d=$\frac{π}{2}$，解得d=$\frac{π}{8}$；
又n=8时，数列{a_n}的前n项和S_n取得最小值，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{8}≤0}\\{{a}_{9}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+7×\frac{π}{8}≤0}\\{{a}_{1}+8×\frac{π}{8}≥0}\end{array}\right.$，
解得-π≤a₁≤-$\frac{7π}{8}$．
故答案为：[-π，-$\frac{7π}{8}$]．

点评 本题考查了数列与三角函数的综合应用问题，利用三角函数的降幂公式与和差化积公式求得sin（a₈-a₄）=1是关键，也是难点，也考查了化归思想、函数与方程思想的应用问题，是较难的题目．