Question

3．如图，椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点，|AF|的最大值为M，|BF|的最小值为m，满足M•m=$\frac{3}{4}$a²．
（Ⅰ）若线段AB垂直于x轴时，|AB|=$\frac{3}{2}$，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的焦距为2，设线段AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点，记△GFD的面积为S₁，△OED的面积为S₂，求$\frac{2{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得M=a+c，m=a-c，结合条件，解方程可得a，c，b，进而得到椭圆方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2，b=$\sqrt{3}$，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．设直线AB的方程为y=k（x+1），并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入椭圆方程，由韦达定理和中点坐标公式可得G的坐标，再由三角形相似的性质，可得面积比为对应边的平方比，结合不等式的性质即可得到所求范围．

解答 解：（Ⅰ） 设F（-c，0）（c＞0），则根据椭圆性质得
M=a+c，m=a-c而M•m=$\frac{3}{4}$a²，
所以有a²-c²=$\frac{3}{4}$a²，即a²=4c²，即a=2c，
又$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{3}{2}$且a²=b²+c²，
得a=1，b²=$\frac{3}{4}$，
因此椭圆的方程为：x²+$\frac{{y}^{2}}{\frac{3}{4}}$=1，（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知a=2，b=$\sqrt{3}$，椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
根据条件直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y=k（x+c），
并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则由直线与椭圆方程消去y并整理得，（4k²+3）x²+8ck²x+4k²-12c²=0
从而有x₁+x₂=-$\frac{8c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂+2c）=$\frac{6ck}{4{k}^{2}+3}$，（6分）
所以G（-$\frac{4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}$）．
因为DG⊥AB，所以$\frac{\frac{3ck}{4{k}^{2}+3}}{-\frac{4c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}-{x}_{D}}•k=-1$，所以x_D=-$\frac{c{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$．
c=1得到x_D=-$\frac{{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$
由Rt△FGD与Rt△EOD相似，所以$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{G{D}^{2}}{O{D}^{2}}$=9+$\frac{9}{{k}^{2}}$＞9．（10分）
令$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=t，则t＞9，从而$\frac{2{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$=$\frac{2}{t+\frac{1}{t}}$＜$\frac{2}{9+\frac{1}{9}}$=$\frac{9}{41}$，
即$\frac{2{S}_{1}{S}_{2}}{{{S}_{1}}^{2}+{{S}_{2}}^{2}}$的取值范围是（0，$\frac{9}{41}$）．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的性质，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查三角形相似的性质：三角形的面积之比为相似比的平方，考查化简整理的运算能力，属于中档题．