Question

18．已知cosx=-$\frac{3}{5}$，x∈（0，π）
（Ⅰ）求cos（x-$\frac{π}{4}$）的值；        
（Ⅱ）求sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinx的值，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值即可计算得解cos（x-$\frac{π}{4}$）的值．        
（Ⅱ）由（Ⅰ）利用二倍角公式可得sin2x，cos2x的值，利用两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算得解sin（2x+$\frac{π}{3}$）的值．

解答 解：（Ⅰ）∵cosx=-$\frac{3}{5}$，x∈（0，π）
∴sinx=$\sqrt{1-co{s}^{2}x}$=$\frac{4}{5}$，
∴cos（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（-$\frac{3}{5}$）+$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$．        
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：sin2x=2sinxcosx=2×$\frac{4}{5}×（-\frac{3}{5}）$=-$\frac{24}{25}$，
cos2x=2cos²x-1=2×$\frac{9}{25}$-1=-$\frac{7}{25}$，
∴sin（2x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x=$\frac{1}{2}×$（-$\frac{24}{25}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×（-$\frac{7}{25}$）=-$\frac{24+7\sqrt{3}}{50}$．

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．