Question

9．已知函数f（x）=asinx-bcosx（a，b为常数，x∈R）在x=$\frac{π}{3}$处取得最小值，则函数y=f（$\frac{2π}{3}$-x）的图象关于（　　）中心对称．

• A． （$\frac{5π}{6}$，0）
• B． （$\frac{2π}{3}$，0）
• C． （$\frac{π}{2}$，0）
• D． （$\frac{π}{3}$，0）

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+θ），
其中，cosθ=$\frac{a}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，sinθ=$\frac{b}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}}$，在x=$\frac{π}{3}$处取得最小值，
∴$\frac{π}{3}$+θ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈Z，即 θ=2kπ-$\frac{5π}{6}$．
则函数y=f（$\frac{2π}{3}$-x）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x+2kπ-$\frac{5π}{6}$ ）=$\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}$sin（x-$\frac{5π}{6}$ ），
故有f（$\frac{5π}{6}$）=0，故它的图象关于（$\frac{5π}{6}$，0）对称，
故选：A．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．