Question

14．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=$\sqrt{2}$，CE=EF=1．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE．
（3）求直线DB与平面ABE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设AC与BD交于点G．连接EG，则可证明四边形AGEF为平行四边形，于是AF∥EG，故而AF∥平面BDE；
（2）以C为原点建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{DE}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{DE}=0$，$\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{BE}=0$得出CF⊥DE，CF⊥BE，故而CF⊥平面BDE；
（3）求出$\overrightarrow{DB}$和平面ABE的法向量$\overrightarrow{n}$，则直线DB与平面ABE所成角的正弦值为|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DB}$＞|．

解答 证明：（1）设AC与BD交于点G．连接EG．
∵正方形ABCD的边长AB=$\sqrt{2}$，∴AG=$\frac{1}{2}AC$=1．
∴EF=AG，又EF∥AG，
∴四边形AGEF为平行四边形
AF∥EG，
又EG?平面BDE，AF?平面BDE，
∴AF∥平面BDE．
（2）∵平面ABCD⊥平面ACEF，
平面ABCD∩平面ACEF=AC，CE⊥AC，
∴CE⊥平面ABCD
以C为原点，以CD，CB，CE为坐标轴建立
空间直角坐标系C-xyz，如图所示：
则C（0，0，0），A（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），F （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），E（0，0，1），D（$\sqrt{2}$，0，0）．
∴$\overrightarrow{CF}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1），$\overrightarrow{BE}$=（0，-$\sqrt{2}$，1），$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$，0，1）．
∴$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{BE}$=0-1+1=0，$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{DE}$=-1+0+1=0，
∴CF⊥BE，CF⊥DE．又BE∩DE=E，BE?平面BDE，DE?平面BDE，
∴CF⊥平面BDE．
（3）$\overrightarrow{DB}$=（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{BA}$=（$\sqrt{2}$，0，0），$\overrightarrow{BE}$=（0，-$\sqrt{2}$，1）．
设平面ABE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BA}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BE}$=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{2}x=0}\\{-\sqrt{2}y+z=0}\end{array}\right.$，令y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，$\sqrt{2}$）．
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{DB}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{DB}|}$=$\frac{\sqrt{2}}{2•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴直线DB与平面ABE所成角的正弦值为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$．

点评 本题考查了线面平行，线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题．