Question

17．如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD⊥面ABCD，且AB=1，AD=2，E、F分别为PC和BD的中点．
（1）证明：EF∥面PAD；
（2）证明：面PDC⊥面PAD；
（3）求锐二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明：根据线面平行的判定定理即可证明EF∥面PAD；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明面PDC⊥面PAD；
（3）建立坐标系求出平面的法向量，利用向量法即可求锐二面角B-PD-C的余弦值．

解答 证明：（1）如图，连接AC，
∵ABCD为矩形且F是BD的中点，
∴AC必经过F  又E是PC的中点，
所以，EF∥AP
∵EF在面PAD外，PA在面内，
∴EF∥面PAD
（2）∵面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD，
面PAD∩面ABCD=AD，∴CD⊥面PAD，
又AP?面PAD，∴AP⊥CD  又∵AP⊥PD，PD和CD是相交直线，AP⊥面PCD
又AD?面PAD，∴面PDC⊥面PAD
（3）由P作PO⊥AD于O，以OA为x轴，以OF为y轴，以OP为z轴，则
A（1，0，0），P（0，0，1）
由（2）知$\overrightarrow{AP}=（-1，0，1）$是面PCD的法向量，B（1，1，0），D（一1，0，0），$\overrightarrow{BD}=（-2，-1，0）$，$\overrightarrow{PD}=（-1，0，-1）$
设面BPD的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，由$\overrightarrow n⊥\overrightarrow{PD}，\overrightarrow n⊥\overrightarrow{BD}$得$\left\{\begin{array}{l}-2x-y=0\\-x-z=0\end{array}\right.$，
取x=1，则$\overrightarrow n=（1，-2，-1）$，
向量$\overrightarrow{AP}=（-1，0，1）$和$\overrightarrow n$的夹角的余弦$\frac{（1，-2，-1）•（-1，01）}{{\sqrt{2}\sqrt{6}}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（11分）
所以，锐二面角B-PD-C的余弦值$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面平行以及面面垂直的判定以及二面角的计算，根据相应的判定定理以及建立坐标系，利用向量法是解决本题的关键．