Question

（08年天津卷）（本小题满分14分）

已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

Answer 1

本小题主要考查双曲线的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、线段的定比分点等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理运算能力．满分14分．

（Ⅰ）解：设双曲线的方程为（）．由题设得

，解得，所以双曲线方程为．

（Ⅱ）解：设直线的方程为（）．点，的坐标满足方程组

将①式代入②式，得，整理得．

此方程有两个一等实根，于是，且．整理得．　③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线方程为．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得．整理得，．

将上式代入③式得，整理得，．

解得或．

所以的取值范围是．