Question

14．△ABC的三边长a，b，c和面积S满足S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]．
（1）求cosC；
（2）若c=2，且2sinAcosC=sinB，求b的长．

Answer 1

分析 （1）利用三角形面积计算公式、余弦定理即可得出；
（2）利用正弦定理余弦定理即可得出．

解答 解：（1）在△ABC中，∵S=$\frac{1}{2}$[c²-（a-b）²]=$\frac{1}{2}（{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}+2ab）$=$\frac{1}{2}（2ab-2abcosC）$=$\frac{1}{2}absinC$，
∴sinC+2cosC=2，又sin²C+cos²C=1，解得cosC=$\frac{3}{5}$或1（舍去）．
∴cosC=$\frac{3}{5}$．
（2）∵2sinAcosC=sinB，
∴2acosC=b，∴2a×$\frac{3}{5}$=b，化为a=$\frac{5b}{6}$．
由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{（\frac{5b}{6}）^{2}+{b}^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5b}{6}×b}$=$\frac{3}{5}$，解得b=$\frac{12}{5}$．

点评 本题考查了三角形面积计算公式、余弦定理正弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．