Question

18．如图，ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，下面结论错误的是（　　）

• A． 异面直线AD与CB₁角为60°
• B． BD∥平面CB₁D₁
• C． AC₁⊥BD
• D． AC₁⊥平面CB₁D₁

Answer 1

分析 由AD∥BC得出∠B₁CB为异面直线AD与CB₁所成的角，通过BD∥B₁D₁得出BD∥平面CB₁D₁，通过BD⊥平面ACC₁得AC₁⊥BD，由AC₁⊥B₁C，AC₁⊥B₁D₁得出AC₁⊥平面CB₁D₁．

解答 解：∵AD∥BC，∴∠B₁CB为异面直线AD与CB₁所成的角，
∵四边形BCC₁B₁为正方形，∴∠B₁CB=45°，
∴异面直线AD与CB₁所成的角为45°，故A错误；
∵BD∥B₁D₁，∴BD∥平面CB₁D₁，故B正确；
连接AC，则BD⊥AC，
又CC₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴BD⊥CC₁，又AC∩CC₁=C，
∴BD⊥平面ACC₁，又AC₁?平面ACC₁，
∴AC₁⊥BD．故C正确；
连接BC₁，则B₁C⊥BC₁，
又AB⊥平面BCC₁B₁，B₁C?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥B₁C，又BC₁∩AB=B，
∴B₁C⊥平面ABC₁，∴BC₁⊥AC₁，
同理可得B₁D₁⊥AC₁，
∴AC₁⊥平面CB₁D₁．故D正确．
故选：A．

点评 本题考查了空间线面位置关系的判断，空间角的计算，属于中档题．