Question

（2011•宁波模拟）设

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)，O为坐标原点，动点P（x，y）满足0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1，则z=y-x的最大值是（　　）

• A．

  3

  2

• B．1
• C．-1
• D．-2

Answer 1

分析：由

OP

•

OM

= x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y及0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1可得

0≤x+ 1 2 y≤ 1 0≤y≤1

，利用线性规划的知识可求Z的最大值

解答：解：∵点P（x，y）∴

OP

=(x，y)
∵

OM

=(1，

1

2

)，

ON

=(0，1)
∴

OP

•

OM

= x+

1

2

y，

OP

•

ON

=y
∵0≤

OP

•

OM

≤1，0≤

OP

•

ON

≤1
∴

0≤x+ 1 2 y≤ 1 0≤y≤1

作出该不等式组所确定的平面区域，如图所示的阴影部分，作直线L：y-x=0，然后把直线L向可行域方向平移，
由目标函数Z=y-x可得y=x+Z，则Z为直线y=x+z在y轴的截距，从而可知向上平移是，Z变大，向下平移时，Z变小
到A时Z有最大值，当移到C时Z最小值
由

y=1 2x+y=0

可得A（-

1

2

，1），此时Z最大=y-x=

3

2

由

y=0 2x+y=2

可得C（1，0），此时Z最小=y-x=-1
即Z的最大值为

3

2

故选A

点评：本题以向量的数量积的坐标表示为载体，主要考查了利用线性规划的知识求解目标函数的最值，属于知识的综合性应用．