Question

已知点A（4，1）、B（0，4），点P在直线l：x+y+1=0上移动，求||PA|-|PB||取最大值时，点P的坐标及这个最大值．

Answer 1

考点：点到直线的距离公式

专题：直线与圆

分析：由已知得当P运动到直线x+y+1=0与直线AB的交点p′处时，||PA|-|PB||取最大值5，由此能求出当P（-20，19）时，||PA|-|PB||的最大值5．

解答： 解：∵A（4，1）、B（0，4），
∴|AB|=

(4-0)2+(1-4)2

=5，
如图，||PA|-|PB||＜|P′A|-|P′B|=|AB|=5，
即当P运动到直线x+y+1=0与直线AB的交点p′处时，
||PA|-|PB||取最大值5，
由A（4，1），B（0，4）得直线AB：3x+4y-16=0，
联立

3x+4y-16=0 x+y+1=0

，得

x=-20 y=19

，
∴当P（-20，19）时，||PA|-|PB||的最大值5．

点评：本题考查两线段之差的绝对值的最大值及相应的点坐标的求法，是中档题，解题时要注意数形结合思想的合理运用．