Question

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人．现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）记ξ表示抽取的3名工人中男工人数，求ξ的分布及数学期望．

Answer 1

分析：对于（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；因为采用分层抽样方法从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核．且甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理可直接得到答案．
对于（2）求ξ的分布及数学期望．首先记事件A_i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．故可得到ξ的可能取值为0，1，2，3．然后对每一个取值求概率．最后根据期望公式即可得到答案．

解答：解：（1）由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样原理．若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组抽取2名工人，乙组抽取1名工人．
（2）ξ的可能取值为0，1，2，3．
A_i表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=0，1，2．
B表示事件：从乙组抽取的是1名男工人．
A_i与B独立，i=0，1，2．
当ξ=0时，P（ξ=0）=P（A0

.

B

）=P（A₀）P（

.

B

）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 3

C 1 5

=

6

75

当ξ=1时，P（ξ=1）=P（A0B+A1

.

B

）=P（A₀）P（B）+P（A₁）P（

.

B

）=

C 2 4

C 2 10

•

C 1 2

C 1 5

+

C 1 6 C 1 4

C 2 10

•

C 1 3

C 1 5

=

28

75

当ξ=3时，P（ξ=3）=P（A₂B）=P（A₂）•P（B）=

C 2 6

C 2 10

•

C 1 2

C 1 5

=

10

75

当ξ=2时，P（ξ=2）=1-[P（ξ=0）+P（ξ=1）+P（ξ=3）]=

31

75

．
故期望Eξ=0×P（ξ=0）+1×P（ξ=1）+2×P（ξ=2）+3×P（ξ=3）=

8

5

．
故答案为

8

5

．

点评：此题主要考查分层抽样的概念以及离散型随机变量的期望和方差，题中涉及到独立事件概率的求法．涵盖知识点多，有一定的计算量，属于难题．