Question

P、Q是抛物线y=x²上顶点以外的两点，O为坐标原点．∠POQ=

π

4

，直线l₁、l₂分别是过P、Q两点抛物线的切线．（Ⅰ）则l₁、l₂的交点M点的轨迹方程是

4x²-y²-6y-1=0（y≠0）

；（Ⅱ）若l₁、l₂分别交x轴于A、B两点，则过△ABM的垂心与点(0，-

1

4

)的直线方程是

y=-

1

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先设出M（x，y），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据．∠POQ=

π

4

，得到含M，P，Q三点坐标的关系式，再因为直线l₁、l₂分别是过P、Q两点抛物线的切线，所以直线l₁、l₂的斜率分别是抛物线在P，Q两点处的导数，再求出直线l₁、l₂的方程，联立解出交点坐标，把得到的式子与前面得到的式子联立化简，就可得到M点的轨迹方程．
（Ⅱ）先求边BM上的高所在直线，其过点A，且斜率为-

1

2x2

，再与AB边上的高x=

x1+x2

2

联立即可得垂心的纵坐标，最后两点所在直线方程为一条垂直于y轴的直线

解答：解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），M（x，y）
∵∠POQ=

π

4

∴

2

2

=

OP • OQ

| OP || OQ |

=

x1x2

( x 2 1 +   x 2 2 )( y 2 1 + y 2 2 )

      ①
∵直线l₁、l₂分别是过P、Q两点抛物线的切线，y=x²，y′=2x
∴直线l₁的方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
直线l₂的方程为y-x₂²=2x₂（x-x₂）
∴l₁、l₂的交点

x= x1+x2 2 y=x1•x2

∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=4x²-2y，y₁²+y₂²=x₁⁴+x₂⁴=（x₁²+x₂²）²-2x₁²x₂²=（4x²-2y）²-2y²   ②
将②代入①得

2

2

=

y

(4x2-2y)((4x2-2y)2-2y2)

化简得4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
故答案为4x²-y²-6y-1=0（y≠0）
（Ⅱ）由（I）得，A（

x1

2

，0），B（

x2

2

，0）
过点A，且与l₂垂直的直线方程为y=-

1

2x2

（x-

x1

2

）     ③
过点M，且与AB垂直的直线方程为x=

x1+x2

2

          ④
将④代入③得△ABM的垂心纵坐标y=-

1

4

∴过△ABM的垂心与点(0，-

1

4

)的直线方程是y=-

1

4

故答案为y=-

1

4

点评：本题考察了直线与抛物线的位置关系，参数法求点的轨迹方程，利用导数的几何意义写出切线方程，恰当的引入参数，并能巧妙地消去参数得轨迹方程是解决本题的关键