Question

如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=2

30

．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（　　）

• A、6
• B、8
• C、10
• D、12

Answer 1

分析：如图所示，作BB′⊥b，分别交b，a与点E，F，且满足B′F=BE=3．再作AC⊥a，垂足是C点，延长AC到点A′，使得A′C=CA=2．连接A′B交a于点M，过点M作MN⊥a，交b于点N．则AM+MN+NB的长度和最短．证明并求出即可．

解答：解：如图所示，作BB′⊥b，分别交b，a与点E，F，且满足B′F=BE=3．
再作AC⊥a，垂足是C点，延长AC到点A′，使得A′C=CA=2．
连接A′B交a于点M，过点M作MN⊥a，交b于点N．
则AM+MN+NB的长度和最短．证明如下：
若在直线a上取除了点M以外的任意一点M′，
则AM′+M′N′+N′B=A′M′+M′N′+B′M′＞A′B′+MN．
作BE⊥AC交AC的延长线于点E．作A′F⊥BB′．垂足为点F．
此时AM+NB=A′B′．
∵AB²=AE²+EB²，∴(2

30

)2=(2+4+3)2+EB2，解得EB²=39．
∴此时AM+NB=A′B′=

A′F2+B′F2

=

39+(2+4+3-2-2)2

=8．
故选：B．

点评：本题考查了利用轴对称图形和性质解决实际距离最短问题，考查了三角形的三边大小关系，考查了推理能力和解决问题的能力，属于难题．