Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n+a_n=2．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求满足不等式${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞\frac{63}{32}$的n的取值范围．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出；
（II）利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）∵满足S_n+a_n=2．
n=1时，a₁=1，
当n≥2时，S_n-1+a_n-1=2，
∴S_n+a_n-S_n-1-a_n-1=0⇒2a_n=a_n-1，
∵a₁=1≠0，
∴${a_n}={（\frac{1}{2}）^{n-1}}$．
（Ⅱ）∵${a_1}+{a_2}+…+{a_n}＞\frac{63}{32}$，
∴$1+{（\frac{1}{2}）^1}+{（\frac{1}{2}）^2}+…+{（\frac{1}{2}）^{n-1}}＞\frac{63}{32}$，
∴$2-{（\frac{1}{2}）^n}＞\frac{63}{32}⇒{（\frac{1}{2}）^n}＜\frac{1}{32}$，
∴n＞6，n∈N^*．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的前n项和公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．