Question

在△ABC中（如图1），已知AC=BC=2，∠ACB=120°，D，E，F分别为AB，AC，BC的中点，EF交CD于G，把△ADC沿CD折成如图2所示的三棱锥C-A₁BD．
（1）求证：E₁F∥平面A₁BD；
（2）若二面角A₁-CD-B为直二面角，求直线A₁F与平面BCD所成的角．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知E₁F为A₁BC的中位线，由此能证明E₁F∥平面A₁BD．
（2）连结DF，则A₁D⊥BD，A₁D⊥CD，从而A₁D⊥平面BDC，∠A₁FD为直线A₁F与平面BCD所成的角，由此能求出直线A₁F与平面BCD所成的角．

解答： （1）证明：E₁，F分别为AC，BC的中点，
则E₁F为A₁BC的中位线，
故E₁F∥A₁B
因为A₁B?面A₁BD，E₁F?平面A₁BD，
所以E₁F∥平面A₁BD．

（2）连结DF，∵二面角A₁-CD-B为直二面角，
∴A₁D⊥BD，
又∵AC=BC且D为AB的中点，∴A₁D⊥CD，
得A₁D⊥平面BDC，
故∠A₁FD为直线A₁F与平面BCD所成的角 
在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=120°，
得CD=1，CF=1，∠DCF=60°
∴△CDF为等边三角形，
故DF=1，
则tan∠A1FD=

A1D

DF

=

3

1

=

3

得∠A₁FD=60°．
故直线A₁F与平面BCD所成的角为60°．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．