Question

已知数列）．
（1）试求a的取值范围，使得a_n+1＞a_n恒成立；
（2）若a=；
（3）若a=2，记T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|（n=2，3，…），求证：T_n＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）由a_n+1＞a_n恒成立，知＞a_n，所以2a_n²-a_n-1＜0恒成立，故2a²-a-1＜0恒成立，由此能求出a的取值范围．
（2）当时，{a_n}是增函数，由0＜a_n＜1，知n≥2时，，从而当n≥2时，，事实上，等价于．由此能够证明．
（3）当a=2时，由数学归纳法可证a_n＞1，n∈N^*．从而=．于是，当n≥2时，T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n，由此能够证明T_n＜1．
解答：解：（1）∵数列）．
且a_n+1＞a_n恒成立，
∴＞a_n，
∴2a_n²-a_n-1＜0恒成立，
∴2a²-a-1＜0恒成立，（a-1）（2a+1）＜0，
∵a＞0，∴2a+1＞0，
∴a＜1，
综上所述，a的取值范围0＜a＜1．
（2）当时，
∵a_n+1＞a_n恒成立，
∴{a_n}是增函数，
∵a_n+1＞a_n恒成立，
∴＞a_n，
∴2a_n²-a_n-1＜0恒成立，
解得．
∵{a_n}是增函数，且，
∴0＜a_n＜1，
∴n≥2时，，
从而当n≥2时，，
即，
事实上，
∴
∴49（1+a_n）＞2（2a_n+5）²
∴8a_n²-9a_n+1＜0
∴（8a_n-1）（a_n-1）＜0，
∴．
而当n=1时，，
于是1-a_n≤=，
当且仅当n=1，2时，
等号成立，
∴n-S_n=（1-a₁）+（1-a₂）+…+（1-a_n）
＜
=
=
＜．
即．
（3）当a=2时，a₁=2，a_n+1=，
①a₁=2＞1成立，
②假设a_k＞1，
则＞1，
由①②知a_n＞1，n∈N^*．
从而=，
即a_n+1＜a_n，数列{a_n}递减，
于是，当n≥2时，
T_n=|a₂-a₁|+|a₃-a₂|+…+|a_n-a_n-1|
=（a₁-a₂）+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=a₁-a_n
＜2-1
=1．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查学生的运算能力，考查学生探究研究问题的能力．考查数列的性质和应用，对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．