Question

已知函数f（x）=
（I）解关于x的不等式_：f（x）≤1；
（II）若1≤x≤2，判断函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的零点个数，并说明理由．

Answer 1

解：（I）∵函数f（x）=
∴不等式_：f（x）≤1可化为：
…①或…②，
解①得x=1，解②得x＜1
综上所述原不等式的解集为（-∞，1]
（II）当1≤x≤2时，函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3=2x³-7x²+8x-3
∴h′（x）=6x²-14x+8=（6x-8）（x-1）
当1＜x＜时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；
当＜x＜2时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；
故当x=时，h（x）取最小值
又∵h（1）=0，h（2）=1＞0
故函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3在区间[1，2]上有2个零点
分析：（I）根据分段函数分段处理的原则，可将不等式_：f（x）≤1化为或，分别解答后，综合讨论结果，可得答案．
（II）由（I）中函数的解析式，可得1≤x≤2时，函数h（x）=2xf（x）-5x²+6x-3的解析式，利用导数法分析其单调性及极值，进而可由零点存在定理，判断出函数零点的个数．
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，分段函数，其中（I）的关键是“分段函数分类讨论”，（II）的关键是求出函数h（x）的解析式．