Question

已知双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，P为左支一点，P到左准线的距离为d，若d，|PF₁|，|PF₂|成等比数列，则该双曲线的离心率的取值范围是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：将等比数列的概念与双曲线的第二定义结合，再利用双曲线的简单性质得到|PF₁|与其离心率e的关系，通过不等式|PF₁|≥c-a即可求得该双曲线的离心率的取值范围．
解答：∵该双曲线的左、右焦点分别为F₁、F₂，又P为左支一点，则|PF₂|-|PF₁|=2a，
设双曲线的离心率为e，依题意，==e，
∵=e，
∴=e-1，即=e-1，
∴|PF₁|=，又|PF₁|≥c-a，
∴≥c-a，又c＞a，
∴0＜≤，即（e-1）≤，
∴（e-1）²≤，又e=＞1
∴1＜e≤1+．
故选D．
点评：本题考查等比数列的性质，考查双曲线的第二定义及双曲线的简单性质，突出转化思想与不等式的应用，属于中档题．