Question

已知函数是定义在上的奇函数,当时, (其中e是自然界对数的底,)

（Ⅰ）设，求证：当时，；

（Ⅱ）是否存在实数a，使得当时，的最小值是3 ？如果存在，求出实数a的值；如果不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)见解析;（Ⅱ）存在，

【解析】

试题分析：(Ⅰ)根据已知条件和奇函数的定义与性质，先求出函数在整个定义域的解析式，再由和的关系列不等式，由函数的单调性和导数的关系解不等式即可；（Ⅱ）首先假设这样的存在，然后根据函数的单调性和导数的关系判断函数的单调性找到最小值，注意解题过程中要对参数进行讨论，不能漏解.

试题解析：（Ⅰ）设，则，所以,

又因为是定义在上的奇函数，所以, 

故函数的解析式为  ,            2分

证明：当且时，，设,

因为，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以,

  又因为，所以当时，，此时单调递减，所以,

所以当时，即 ;              4分

（Ⅱ）解：假设存在实数，使得当时，有最小值是3，则                    ..5分

（ⅰ）当，时，．在区间上单调递增，，不满足最小值是3,            6分

（ⅱ）当，时，，在区间上单调递增，，也不满足最小值是3,             7分

（ⅲ）当，由于，则，故函数 是上的增函数．

所以，解得（舍去）.       8分

（ⅳ）当时，则

当时，，此时函数是减函数；

当时，，此时函数是增函数．

所以，解得.

综上可知，存在实数，使得当时，有最小值3.             10分

考点：函数的单调性与导数的关系，利用导数求函数的极值.