Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x．设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=（　　）

• A．2-

  1

  2n-1

• B．4-

  1

  2n-2

• C．2-

  1

  2n

• D．4-

  1

  2n-1

Answer 1

分析：根据定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），可得f（x+2）=

1

2

f（x），从而f（x+2n）=

1

2n

f（x），利用当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x，可求（x）在[2n-2，2n）上的解析式，从而可得f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，进而利用等比数列的求和公式，即可求得{a_n}的前n项和为S_n．

解答：解：∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），
∴f（x+2）=

1

2

f（x），
∴f（x+4）=

1

2

f（x+2）=

1

22

f（x），f（x+6）=

1

2

f（x+4）=

1

23

f（x），…f（x+2n）=

1

2n

f（x）
设x∈[2n-2，2n），则x-（2n-2）∈[0，2）
∵当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x．
∴f[x-（2n-2）]=-2[（x-（2n-2）]²+4[x-（2n-2）]．
∴

1

21-n

f(x)=-2（x-2n+1）²+2
∴f（x）=2^1-n[-2（x-2n+1）²+2]，x∈[2n-2，2n），
∴x=2n-1时，f（x）的最大值为2^2-n
∴a_n=2^2-n
∴{a_n}表示以2为首项，

1

2

为公比的等比数列
∴{a_n}的前n项和为S_n=

2[1-( 1 2 )n]

1- 1 2

=4-

1

2n-2

故选B．

点评：本题以函数为载体，考查数列的通项与求和，解题的关键是确定函数的解析式，利用等比数列的求和公式进行求和．