Question

（本小题满分14分）下图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，平面，，且，

（1）求证：BE//平面PDA；

（2）若N为线段的中点，求证：平面；

（3）若，求平面PBE与平面ABCD所成的锐二面角的大小.

 

Answer 1

【答案】

（1）证明略；

（2）证明略；

（3）45°

【解析】（1）证明：∵，平面，平面

∴EC//平面,同理可得BC//平面----------------------------------------2分

∵EC平面EBC,BC平面EBC且 

∴平面//平面-----------------------------------------------------------------3分

又∵BE平面EBC   ∴BE//平面PDA-----------------------------------------------------4分

（2）证法1：连结AC与BD交于点F, 连结NF，

∵F为BD的中点，

∴且,--------------------------6分

又且

∴且

∴四边形NFCE为平行四边形-------------------------7分

∴

∵,平面,

面     ∴，

又

∴面     ∴面----------------------------------------9分

证法2：如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：设该简单组合体的底面边长为1，

则,--------------------------------6分

∴,,

∵,，

∴---------------------------------8分

∵、面，且

∴面--------------------------------------------------------------------9分

（3）解法1：连结DN，由（2）知面

∴,  ∵，  ∴  ∴

∴为平面PBE的法向量，设，则  ∴=---11分

∵为平面ABCD的法向量，，---------------------------------------------12分

设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为，

则------------------------------------------------13分

∴  即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°--------------------14分

解法2：延长PE与DC的延长线交于点G,连结GB，

则GB为平面PBE与ABCD的交线--------------------10分

∵   ∴

∴D、B、G在以C为圆心、以BC为半径的圆上，

∴-------------------11分

∵平面,面 

∴且

∴面  ∵面 

∴

∴为平面PBE与平面ABCD所成的二面角的平面角----------------------------13分

在中       ∵

∴＝45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°----------------14分