Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为梯形，，，，.

（1）当时，试在棱上确定一个点，使得平面，并求出此时的值；

（2）当时，若平面平面，求此时棱的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

(1)当时，连接，交于点，由平行可以证得，结合线面平行的判定定理在棱上确定一个点

(2)取上一点得，连接，构造四边形为正方形，作平面，由证得等边三角形继而得点为正方形对角线的交点，建立空间坐标系，求出两个面的法向量，计算出结果

（1）在棱上取点，使得，

连接，交于点，

因为，所以，所以，

所以，

因为平面，平面，

所以平面；

（2）取上一点得，连接，则为正方形．

过作平面，垂足为.连接，，，，

，，

所以和都是等边三角形，

因此，

所以，

即点为正方形对角线的交点，

以为坐标原点，

分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，，

由于棱的长为，则，

，，，，

设平面的法向量为，

则，取，

同理平面的法向量，

由，解得，

即的长为.