【题目】已知两圆的圆心分别为,P为一个动点,且直线的斜率之积为.
(Ⅰ)求动点P的轨迹M的方程;
(Ⅱ)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)+y2=1(x≠0)(2)不存在
【解析】
(1)两圆的圆心坐标分别为C1(0,1),和C2(0,-1),
设动点P的坐标为(x,y),则直线PC1,PC2的斜率分别为(x≠0)和(x≠0).
由已知条件得=-(x≠0),即+y2=1(x≠0).
所以动点P的轨迹M的方程为+y2=1(x≠0).
(2)假设存在满足条件的直线l,易知点A(2,0)在椭圆M的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆M无交点,此时不符合题意,所以直线l斜率存在,设为k,则直线l的方程为y=k(x-2).
联立方程组得(2k2+1)x2-8k2x+8k2-2=0,①
依题意Δ=-8(2k2-1)>0,解得-<k<.
当-<k<时,设交点分别为C(x1,y1),D(x2,y2),CD的中点为N(x0,y0),
则x1+x2=,则x0==,
所以y0=k(x0-2)=k=.
要使|C1C|=|C1D|,必须C1N⊥l,即k·kC1N=-1,
所以k·=-1,即k2-k+=0,
因为Δ1=1-4×=-1<0,∴k2-k+=0无解,
所以不存在直线,使得|C1C|=|C1D|,
综上所述,不存在直线l,使得|C1C|=|C1D|.
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【题目】如图,在正方体中,平面,垂足为H,给出下面结论:
①直线与该正方体各棱所成角相等;
②直线与该正方体各面所成角相等;
③过直线的平面截该正方体所得截面为平行四边形;
④垂直于直线的平面截该正方体,所得截面可能为五边形,
其中正确结论的序号为( )
A. ①③ B. ②④ C. ①②④ D. ①②③
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【题目】为研究某种图书每册的成本费(元)与印刷数(千册)的关系,收集了一些数据并作了初步处理,得到了下面的散点图及一些统计量的值.
表中, .
(1)根据散点图判断: 与哪一个更适宜作为每册成本费(元)与印刷数(千册)的回归方程类型?(只要求给出判断,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立关于的回归方程(回归系数的结果精确到0.01);
(3)若每册书定价为10元,则至少应该印刷多少千册才能使销售利润不低于78840元?(假设能够全部售出,结果精确到1)
(附:对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为, )
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【题目】已知椭圆C:的焦距为2,左右焦点分别为,,以原点O为圆心,以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线相切.
Ⅰ求椭圆C的方程;
Ⅱ设不过原点的直线l:与椭圆C交于A,B两点.
若直线与的斜率分别为,,且,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;
若直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项,求面积的取值范围.
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【题目】“石头、剪刀、布”,又称“猜丁壳”,是一种流行多年的猜拳游戏,起源于中国,然后传到日本、朝鲜等地,随着亚欧贸易的不断发展,它传到了欧洲,到了近代逐渐风靡世界.其游戏规则是:出拳之前双方齐喊口令,然后在语音刚落时同时出拳,握紧的拳头代表“石头”,食指和中指伸出代表“剪刀”,五指伸开代表“布”.“石头”胜“剪刀”、“剪刀”胜“布”、而“布”又胜过“石头”.若所出的拳相同,则为和局.小军和大明两位同学进行“五局三胜制”的“石头、剪刀、布”游戏比赛,则小军和大明比赛至第四局小军胜出的概率是( )
A. B. C. D.
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【题目】一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:
(1)取出1球是红球或黑球的概率;
(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.
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