【题目】已知椭圆C:的焦距为2,左右焦点分别为
,
,以原点O为圆心,以椭圆C的半短轴长为半径的圆与直线
相切.
Ⅰ
求椭圆C的方程;
Ⅱ
设不过原点的直线l:
与椭圆C交于A,B两点.
若直线
与
的斜率分别为
,
,且
,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标;
若直线l的斜率是直线OA,OB斜率的等比中项,求
面积的取值范围.
【答案】(1);(2)(i)直线
过定点,该定点的坐标为
;(ii)
面积的取值范围为
【解析】
试题(1)先根据抛物线的焦点
得
,再结合椭圆几何条件得当点
为椭圆的短轴端点时,△
面积最大,此时
,所以
.(2)(i)证明直线过定点问题,一般方法以算代证,即求出直线方程,根据方程特征确定其过定点,本题关键求出
之间关系即可得出直线过定点.由
得
,即
,因此联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得;(ii)先分析条件:直线
的斜率时直线
,
斜率的等比中项,即
,
,化简得
,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理可得
,这样三角形面积可用m表示,其中高利用点到直线距离得到,底边边长利用弦长公式得到:
,最后根据基本不等式求最值
试题解析:(1)由抛物线的方程得其焦点为
,所以椭圆中
,
当点为椭圆的短轴端点时,△
面积最大,此时
,所以
.
,
为椭圆的左、右焦点,
为椭圆上任意一点,△
面积的最大值为1,
所以椭圆的方程为.
(2)联立得
,
,得
(*)
设,
,则
,
,
(i),
,由
,得
,
所以,即
,
得,
所以直线的方程为
,因此直线
恒过定点,该定点坐标为
.
(ii)因为直线的斜率是直线
,
斜率的等比中项,所以
,即
,
得,得
,所以
,又
,所以
,
代入(*),得.
.
设点到直线
的距离为
,则
,
所以
,
当且仅当,即
时,△
面积取最大值
.
故△面积的取值范围为
.
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【题目】(本小题共14分)如图,在三棱锥中,
底面
,点
,
分别在棱
上,且
(Ⅰ)求证:
平面
;(Ⅱ)当
为
的中点时,求
与平面
所成的角的大小;(Ⅲ)是否存在点
使得二面角
为直二面角?并说明理由.
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【题目】已知两圆的圆心分别为
,P为一个动点,且直线
的斜率之积为
.
(Ⅰ)求动点P的轨迹M的方程;
(Ⅱ)是否存在过点A(2,0)的直线l与轨迹M交于不同的两点C、D,使得?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),它与曲线
C:(y-2)2-x2=1交于A、B两点.
(1)求|AB|的长;
(2)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点P的极坐标为,求点P到线段AB中点M的距离.
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【题目】近年来,某企业每年消耗电费约24万元,为了节能减排,决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网,安装这种供电设备的工本费(单位:万元)与太阳能电池板的面积(单位:平方米)成正比,比例系数约为0.5.为了保证正常用电,安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.假设在此模式下,安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积
(单位:平方米)之间的函数关系是
为常数).记
为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和.
(1)试解释的实际意义,并建立
关于
的函数关系式;
(2)当为多少平方米时,
取得最小值?最小值是多少万元?
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【题目】已知函数
(1)求证:函数f(x)-g(x)必有零点;
(2)设函数G(x)=f(x)-g(x)-1
①若函数G(x)有两相异零点且在
上是减函数,求实数m的取值范围。
②是否存在整数a,b使得的解集恰好为
若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由。
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【题目】菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒,以防止害虫的危害,但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药,食用时需要用清水清洗干净,下表是用清水(单位:千克)清洗蔬菜
千克后,蔬菜上残留的农药
(单位:微克)的统计表:
(1)在下面的坐标系中,描出散点图,并判断变量与
是正相关还是负相关;
(2)若用解析式作为蔬菜农药残量
与用水量
的回归方程,令
,计算平均值
与
,完成以下表格(填在答题卡中),求出
与
的回归方程.(
保留两位有效数字);
(3)对于某种残留在蔬菜上的农药,当它的残留量低于微克时对人体无害,为了放心食用该蔬菜,请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜?(精确到
,参考数据
)(附:对于一组数据
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:
)
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