Question

已知函数f（x）=

-x2+x，(x≤1) lnx，(x＞1)

，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两点且x₁＜1，x₂＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x₂＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x₀∈I，g（x）的图象在（x₀，g（x₀））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，

3

8

）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）分别当x小于等于1求出f′（x）=0时x的值，然后利用x的值和x=1分区间讨论导函数的正负即可得到函数的单调区间，而当x大于1时得到导函数恒大于0得到函数的增区间，根据函数的增减性得到函数的极值即可；
（Ⅱ）当x₁＜1时求出f′（x₁）即为直线PQ的斜率，根据直线PQ过（x₁，f（x₁））和求出的f′（x₁）值写出直线PQ的方程①，当x₂＞1时求出f′（x₂）即为直线PQ的斜率，根据直线PQ过（x₂，f（x₂））和求出的f′（x₂）的值写出直线PQ的方程②，因为两条直线表示同一条直线，所以联立①②消去x₁，得到关于x₂的关系式，令φ（x）等于这个关系式，则x₂是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．当x大于1时求出φ′（x）判断其值小于0即φ（x）为减函数，因为φ（3）大于0，而φ（4）小于0，所以3＜x₂＜4得证；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知-2x₁+1=

1

x2

∈（

1

4

，

1

3

），∴x₁∈（

1

3

，

3

8

），再结合f（x）图象得结论．

解答：解：（Ⅰ）当x≤1时，由f′（x）=-2x+1=0得x=

1

2

；
当x＞1时，f′（x）=

1

x

＞0
列表：

∴f（x）的单调增区间为（-∞，

1

2

），（1，+∞）；
单调减区间为（

1

2

，1）．
f（x）的极大值为f（

1

2

）=

1

4

，极小值为f（1）=0．
（Ⅱ）∵x₁＜1∴f′（x₁）=-2x₁+1
∴直线PQ的方程为y-f（x₁）=f′（x₁）（x-x₁）
即y-（-x₁²+x₁）=（-2x₁+1）（x-x₁），y=（-2x₁+1）x+x₁²①
∵x₂＞1∴f′（x₂）=

1

x2

∴直线PQ的方程为y-f（x₂）=f′（x₂）（x-x₂）
即y-lnx₂=

1

x2

（x-x₂），y=

1

x2

x+lnx₂-1②
∵①②表示同一条直线方程，∴

-2x1+1= 1 x2 x 2 1 =lnx2-1

消去x₁，得[

1

2

（1-

1

x2

）]²=lnx₂-1，即

1

x 2 2

-

2

x2

-4lnx₂+5=0
令φ（x）=

1

x2

-

2

x

-4lnx+5（x＞1），则x₂是φ（x）图象与x轴交点的横坐标．
∵当x＞1时，φ′（x）=-

2

x3

+

2

x2

-

4

x

=

-2+2x-4x2

x3

=

4(x- 1 4 )2+ 7 4

x3

＜0
∴φ（x）在（1，+∞）上是减函数
又φ（3）=

1

9

-

2

3

-4ln3+5=

40

9

-4ln3=

4

9

(10-9ln3)＞

4

9

(10-9×1.1)＞0
φ（4）=

1

16

-

2

4

-4ln4+5=-

7

16

+5-8ln2＜-

7

16

+5-8×0.69=-

7

16

-0.52＜0
∴3＜x₂＜4
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x₀∈I，g（x）的图象在（x₀，g（x₀））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l下方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“上线区间”，
所以（-∞，

3

8

）不是函数f（x）的“上线区间”．

点评：本题要求学生会根据导函数的正负得到函数的单调区间以及会根据函数的增减性得到函数的极值，在实际问题中掌握导数所表示的意义，是一道中档题．