Question

已知f（x）=

1

x-1

，x∈[2，6]．
（1）证明：f（x）是定义域上的减函数；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）利用函数的单调性定义证明f（x）是定义域上的减函数，得到本题结论；（2）函数的单调性结合函数的定义域，求出f（x）的最大值和最小值，得到本题结论．

解答： 解：（1）在区间[2，6]上任取x₁，x₂，且取x₁＜x₂，
则：f（x₁）-f（x₂）=

1

x1-1

-

1

x2-1

=

x2-x1

(x1+1)(x2+1)

，
∵2＜x₁＜x₂＜6，
∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x_1）＞f（x₂），
∴f（x）是定义域上的减函数．
（2）由（1）知：f（x）是定义域上的减函数．
∵x∈[2，6]
∴f（2）≥f（x）≥f（6），
∴

1

5

≤f(x)≤1．
∴f（x）的最大值为1，f（x）的最小值为

1

5

．

点评：本题考查了函数的单调性的定义和应用，本题难度不大，属于基础题．