Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=

1

2

a_n²-

n

2

a_n+1（n∈N^*）且a₁=3．
（1）求a₂，a₃，a₄的值及数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，S_n为数列{b_n}的前n项和，求证：

7

60

≤S_n＜

13

24

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）直接由已知结合数列递推式求得a₂，a₃，a₄的值，猜测数列{a_n}的通项a_n，然后利用数学归纳法证明；
（2）把数列{a_n}的通项a_n代入b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，整理后求出b1=

7

3×4×5

=

7

60

，再由b_n＞0说明不等式左边成立，然后利用放缩法结合裂项相消法证明不等式右边．

解答： （1）解：由a_n+1=

1

2

a_n²-

n

2

a_n+1，a₁=3，得
a2=

1

2

×32-

1

2

×3+1=4．
a3=

1

2

×42-4+1=5．
a4=

1

2

×52-

3

2

×5+1=6．
…
由此推测，a_n=n+2．
下面用数学归纳法证明：
当n=1时，a₁=3成立；
假设当n=k时成立，即a_k=k+2，
则当n=k+1时，ak+1=

1

2

ak2-

k

2

ak+1=

1

2

(k+2)2-

k

2

(k+2)+1
=

2k+6

2

=k+3=(k+1)+2，结论成立．
综上，对于任意的n∈N^*，都有a_n=n+2；
（2）证明：由b_n=

2an+1

an(an+1)(an+2)

，得
bn=

2(n+2)+1

(n+2)(n+3)(n+4)

=

2n+5

(n+2)(n+3)(n+4)

．
当n=1时，b1=

7

3×4×5

=

7

60

，
又b_n＞0，
∴数列{b_n}的前n项和Sn≥S1=

7

60

；
又

2n+5

(n+2)(n+3)(n+4)

=

1

n+2

-

1

n+4

-

1

2

[

1

(n+2)(n+3)

-

1

(n+3)(n+4)

]．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=(

1

3

-

1

5

+

1

4

-

1

6

+

1

5

-

1

7

+…+

1

n+2

-

1

n+4

)
-

1

2

[

1

3×4

-

1

4×5

+

1

4×5

-

1

5×6

+…

1

(n+2)(n+3)

-

1

(n+3)(n+4)

]
=

1

3

+

1

4

-

1

24

-

1

n+3

-

1

n+4

+

1

(n+3)(n+4)

=

13

24

-

2

n+4

＜

13

24

．
综上，

7

60

≤S_n＜

13

24

．

点评：本题考查了数列递推式，考查了利用数学归纳法证明数列的通项公式，训练了放缩法证明是列不等式，考查了学生的灵活思维能力和计算能力，是压轴题．