Question

用定义判断f（x）=x+

1

x

在x∈[1，3]上的单调性，并求f（x）在x∈[1，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：根据函数的单调性的定义证明f（x）在[1，3]上是增函数，从而求得f（x）在x∈[1，3]上的最大值和最小值．

解答：解：设?x₁，x₂∈[1，3]，且x₁＜x₂，则有 f(x1)-f(x2)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0；
又∵x₁，x₂∈[1，3]，∴x₁x₂＞1＞0，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
所以f（x）在[1，3]上是增函数，
∴f(x)max=f(3)=

10

3

，f（x）_min=f（1）=2．

点评：本题主要考查函数的单调性的定义和证明方法，利用单调性求函数的最值，属于中档题．