Question

已知函数f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函数且f（1）=2．（1）求a，b的值；（2）用定义判断f（x）在（-∞，-1）上的单调性．

Answer 1

分析：（1）由函数f(x)=

x2+1

ax+b

是奇函数得f（-x）=-f（x）即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

恒成立，化简得b=0，再由f（1）=2，可求得a值．
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

，设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂），将差化简为几个因子的乘积，再判断差的符号，用定义判断出结论．注意用定义法证明时的步骤．

解答：解：（1）因为f（-x）=-f（x）即

x2+1

-ax+b

=-

x2+1

ax+b

所以-ax+b=-ax-b∴b=0，又f（1）=2，所以

2

a+b

=2，∴a=1
（2）由（1）得f(x)=

x2+1

x

=x+

1

x

设x₁，x₂是（-∞，-1）上的任意两实数，且x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，因为x₁＜x₂＜-1，所以x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-∞，-1）上是增函数．

点评：本题考点是函数的性质，主要考查函数奇偶性与单调性，是函数性质中的一道常规题型，是近几年高中教学中考查函数性质时常用的模式．